add 0/1 Knapsack Problem

Author: zhangheng

README.md

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 6. [动态规划](./doc/Dynamic_Programming/readme.md)（基本概念）
 7. 最长公共子序列（动态规划练习题）
 8. [最优二叉搜索树](./doc/Dynamic_Programming/optimal_binary_search_tree.md)
-9. 0-1背包问题
+9. [0-1背包问题](./doc/Dynamic_Programming/0-1_knapsack_problem.md)
 10. 完全背包问题
 11. 多重背包问题
 

code/Dynamic_Programming/0-1 knapsack problem/KnapsackProblem_0_1.java

@@ -0,0 +1,42 @@
+
+public class KnapsackProblem_0_1 {
+    private int[] vs = {0, 2, 4, 3, 7};
+    private int[] ws = {0, 2, 3, 5, 5};
+    private Integer[][] results = new Integer[5][11];
+
+    private int ks3(int i, int j) {
+
+        for (int m = 0; m <= i; m++) {
+            results[m][0] = 0;
+        }
+        for (int m = 0; m <= j; m++) {
+            results[0][m] = 0;
+        }
+
+        for (int m = 1; m <= i; m++) {
+            for (int n = 1; n <= j; n++) {
+                if (n < ws[m]) {
+                    // 装不进去
+                    results[m][n] = results[m - 1][n];
+                } else {
+                    // 容量足够
+                    if (results[m - 1][n] > results[m - 1][n - ws[m]] + vs[m]) {
+                        // 不装该物品，最优价值更大
+                        results[m][n] = results[m - 1][n];
+                    } else {
+                        results[m][n] = results[m - 1][n - ws[m]] + vs[m];
+                    }
+                }
+            }
+        }
+        return results[i][j];
+    }
+
+
+    public static void main(String[] args) {
+        KnapsackProblem_0_1 kp01 = new KnapsackProblem_0_1();
+        int result = kp01.ks3(4, 10);
+        System.out.println(result);
+    }
+}
+

doc/Dynamic_Programming/0-1_knapsack_problem.md

@@ -0,0 +1,118 @@
+# 动态规划--0/1背包问题
+
+## 介绍
+
+给定**N个物品**，每个物品有**重量W**和**价值V**，你有一个能**装重量M的背包**，问怎么装使得**携带价值最大**，并且每个物品只有一个。
+
+**上面这个题干有以下这些故事：**
+
+* 山洞的宝藏
+* 超市大赢家
+* RPG游戏回城卖垃圾
+
+直观上，我们直观上会以贪心策略来求解这道题，所谓**携带价值最大**，实际上就是找性价比最高的一些东西塞包里面，这里性价比就是**价值/重量**，如果去抢商场，当然是去洗劫珠宝店，不然去抢超市，捎上两斤白菜么？
+
+但是，贪心策略给出的结论不一定是最优解，比如给出下面这个清单，尝试使用贪心策略来装货试试。
+
+| 编号 | 价值 | 重量 | 性价比 |
+| :--: | :--: | :--: | :--: |
+|  A   |  9   |  3   |   3    |
+|  B   |  7   |  2   |  3.5   |
+|  C   |  1   |  1   |   1   |
+
+现在给定一个负重为3的背包，从性价比的倒序排列，先把性价比最高的B先塞包里，然后再拿个C填剩下的空缺。但是这个明显不是最优策略，就拿一个A的价值是最高的。
+
+| 组合 | 重量 | 价值 |
+| :--: | :--: | :--: |
+| B+C  | 3    | 8    |
+| A    | 3    | 9    |
+
+对于最优解，怎么做？
+
+## 最优解
+
+还是前面这个例子，我们先做一个穷举求解，对于很多人而言，没有什么是不能暴力的，如果不能，加机器 =,=
+
+|  idx  | ABC  |   重量    |   价值   |
+| :--: | :--: | :-------: | :------: |
+| 0 | 000  | 0+0+0 = 0 | 0+0+0 = 0  |
+| 1 | 001  |  0+0+1 = 1  | 0+0+1 = 1  |
+| 2 | 010  |  0+2+0 = 2  | 0+7+0 = 7  |
+| 3 | 011  |  0+2+1 = 3  | 0+7+1 = 8  |
+| 4 | 100  |  3+0+0 = 3  | 9+0+0 = 9  |
+| 5 | 101  |  3+0+1 = 4  | 9+0+1 = 10 |
+| 6 | 110  |  3+2+0 = 5  | 9+7+0 = 16 |
+| 7 | 111  |  3+2+1 = 6  | 9+7+1 = 17 |
+
+3个物品跑了8次，40个物品得计算1 0995 1162 7776次。一桌子的东西出个方案给算了一年，废物！
+
+**我们来优化一下。**
+
+大家应该看出来很多计算压根就是多余的，比如第5个101就已经不用计算了，第4个就已经把包装满了。
+
+下面这个张图是对前面表格计算的优化，在是否添加下一个物品的时候添加一条判断策略：**添加的物品是否已经超重**。
+
+![](../../res/Dynamic_Programming/kp1.png)
+
+## 动态规划
+
+动态规划有个基本思考方法，是将大问题拆解，对解空间的“所有”方案进行了比对，并分阶段去决策处理，通过对过程进行"剪枝"，实现优化。
+
+0/1背包问题好像符合动态规划的基本特征：有分支处理，有重复处理，搜索最优解；这里需要找到0/1背包问题的阶段、状态和状态转移，这里悬而不论。
+
+作为动态规划最重要的问题，是要回答最优解的子问题是否也是最优解，也称为**最优化原理**。
+
+抛开上述问题，我们想象一下装包流程：
+
+如果只有一件物品，那当然只要包能装得下，这个物品自然就是最优解。
+
+再添加一件物品，如何获得最优解？这个就要考虑现在背包剩余空间够不够，如果不够，往外腾出足够的空间放进去，和不放这件物品相比哪个更好？
+
+![](../../res/Dynamic_Programming/kp2.png)
+
+归纳一下，放一件物品的最优解：
+
+* 背包剩余空间足够（放进去当然比不放要贵重），够则放；
+* 剩余空间不够，腾出刚好足够的空间把这个物品放进去和当前的最优解相比，大则放；
+
+推导**状态转移方程**：
+
+对于添加的第i个物品，背包空间有w个单位。有c[i,w]为最优解。如下数学函数中：
+
+* 当物品数量或者背包容量为0时，最优价值为0；
+
+* 当物品重量大于背包总空间则以添加前的结果为最优；
+* i的价值加上将背包腾出足够的空间的价值之和，与添加前的价值，取大者为最优；
+
+![](../../res/Dynamic_Programming/kp3.png)
+
+## 二维记录表
+
+有了前面对过程的拆解，后面模拟解题。下面给出一个稍微复杂一点的题设： v=[2,4,3,7]， w=[2,3,5,5]，背包负重为10。
+
+![](../../res/Dynamic_Programming/kp4.png)
+
+
+
+![](../../res/Dynamic_Programming/kp5.png)
+
+![](../../res/Dynamic_Programming/kp6.png)
+
+最优解是13
+
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